केस स्टडी 1:
रिया को संख्या रेखा पर √3 को चिन्हित करना है, लेकिन उसे irrational संख्या सही से दिखाने में दिक्कत हो रही है।
प्रश्न 1: रिया संख्या रेखा पर √3 को कैसे सही ढंग से प्रदर्शित कर सकती है?
उत्तर:
रिया एक लंब रेखा बनाए, उस पर 1 इकाई की लंबाई खींचे। फिर 1 इकाई लंबवत खींचे। फिर पायथागोरस प्रमेय के अनुसार √3 की लंबाई वाले त्रिज्या से चाप बनाकर उसे संख्या रेखा पर चिह्नित करे।
केस स्टडी 2:
अंजली को 0.363636… जैसे आवर्ती दशमलव को भिन्न (fraction) में बदलना है ताकि वह गणना में उपयोग कर सके।
प्रश्न 2: 0.363636… को भिन्न में कैसे लिखेंगे?
उत्तर:
मान लें x = 0.363636…
100x = 36.363636…
100x − x = 36.363636… − 0.363636… = 36
=> 99x = 36
=> x = 36/99 = 4/11
केस स्टडी 3:
एक छात्र कहता है कि सभी राशनल संख्याओं के दशमलव रूप या तो समाप्त होते हैं या आवर्ती होते हैं।
प्रश्न 3: क्या यह कथन सही है? उदाहरण के साथ समझाइए।
उत्तर:
हाँ, यह सही है। राशनल संख्या p/q के रूप में होती है। जब p को q से भाग देते हैं, तो या तो भाग पूरी तरह समाप्त हो जाता है या फिर शेष दोहराने लगता है।
उदाहरण: 1/4 = 0.25 (समाप्त), 1/3 = 0.3333… (आवर्ती)
केस स्टडी 4:
राहुल ने देखा कि π की दशमलव संख्या अनंत तक चलती है और कभी दोहराव नहीं होता।
प्रश्न 4: π असममित संख्या क्यों है?
उत्तर:
π को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता, और इसका दशमलव विस्तार न खत्म होने वाला और न ही आवर्ती होता है, इसलिए यह असममित संख्या है।
केस स्टडी 5:
एक छात्र को 1/(√5 + √2) का हर (rationalize) करना है।
प्रश्न 5: 1/(√5 + √2) का हर कैसे करेंगे?
उत्तर:
संयुग्म जोड़ (conjugate) √5 − √2 से गुणा करें:
(1/(√5 + √2)) × ((√5 − √2)/(√5 − √2)) = (√5 − √2)/(5 − 2) = (√5 − √2)/3
केस स्टडी 6:
एक छात्र कहता है √2 राशनल संख्या है क्योंकि इसका मान लगभग 1.414 होता है।
प्रश्न 6: क्या छात्र की बात सही है? क्यों?
उत्तर:
नहीं, यह गलत है। 1.414 केवल √2 का अनुमानित मान है, √2 को दो पूर्णांकों के अनुपात में नहीं लिखा जा सकता इसलिए यह असममित है।
केस स्टडी 7:
एक छात्र (√3 + √2)^2 की गणना करता है।
प्रश्न 7: (√3 + √2)^2 का मान क्या होगा?
उत्तर:
(√3 + √2)^2 = 3 + 2√6 + 2 = 5 + 2√6
केस स्टडी 8:
एक शिक्षक बताता है कि राशनल और असममित संख्याओं के दशमलव रूप में क्या अंतर होता है।
प्रश्न 8: राशनल और असममित संख्याओं के दशमलव स्वरूप में क्या अंतर है?
उत्तर:
- राशनल संख्याओं के दशमलव समाप्त (जैसे 0.75) या आवर्ती (जैसे 0.333…) होते हैं।
- असममित संख्याओं के दशमलव न तो समाप्त होते हैं और न ही आवर्ती (जैसे π = 3.14159…)।
केस स्टडी 9:
सम को 0 और 1 के बीच 5 राशनल संख्याएँ लिखनी हैं।
प्रश्न 9: 0 और 1 के बीच 5 राशनल संख्या दीजिए।
उत्तर:
0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9
केस स्टडी 10:
एक शिक्षक बताता है कि दो असममित संख्याओं का गुणनफल कभी-कभी राशनल भी हो सकता है।
प्रश्न 10: उदाहरण के साथ समझाइए।
उत्तर:
√2 × √2 = 2, जो कि राशनल संख्या है। इसलिए दो असममित संख्याओं का गुणनफल राशनल भी हो सकता है।