1. क्या 0 एक राशनल संख्या है? इसे p/q के रूप में लिखिए।
उत्तर:
हाँ, 0 राशनल है क्योंकि इसे 0/1 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p = 0 और q = 1 (q ≠ 0)।
2. 3 और 4 के बीच 6 राशनल संख्याएँ बताइए।
उत्तर:
3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6 (सभी राशनल हैं)।
3. 3/5 और 4/5 के बीच 5 राशनल संख्याएँ बताइए।
उत्तर:
3/5 = 0.6 और 4/5 = 0.8
0.62, 0.65, 0.7, 0.75, 0.77
4. क्या प्राकृतिक संख्याओं में 0 आता है? सही या गलत।
उत्तर:
गलत। प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं, 0 प्राकृतिक संख्या नहीं है।
5. √4 क्या असममित संख्या है? स्पष्ट कीजिए।
उत्तर:
नहीं, √4 = 2 जो कि राशनल संख्या है क्योंकि इसे 2/1 के रूप में लिखा जा सकता है।
6. संख्या रेखा पर √5 को प्रदर्शित कीजिए।
उत्तर:
- एक रेखा खींचिए, AB = 2 इकाई।
- B से लंबवत 1 इकाई की रेखा खींचिए, BC = 1।
- AC को जोड़िए, यह √5 होगा।
- AC को त्रिज्या मानकर, A से एक चाप बनाइए जो संख्या रेखा को √5 पर काटेगा।
7. 0.75, 0.666…, और √3 को वर्गीकृत कीजिए।
उत्तर:
- 0.75: समाप्त होने वाला दशमलव (राशनल)
- 0.666…: अनंत आवर्ती दशमलव (राशनल)
- √3: अनंत गैर आवर्ती दशमलव (असममित)
8. बताइए कि क्यों केवल 2 और 5 का गुणनखंड होने पर राशनल संख्या का दशमलव समाप्त होता है?
उत्तर:
सरलीकृत रूप में हर राशनल संख्या q हर q का गुणनखंड यदि केवल 2 या 5 हो तो दशमलव समाप्त होता है, अन्यथा आवर्ती होगा।
9. 1 और 2 के बीच 3 असममित संख्या बताइए।
उत्तर:
√2 ≈ 1.414, √3 ≈ 1.732, 1 + π/4 ≈ 1.785
10. 1/√3 का हर (रैशनलाइज) कीजिए।
उत्तर:
(1/√3) × (√3/√3) = √3/3
11. (√5 + √2)² को सरल कीजिए।
उत्तर:
5 + 2√10 + 2 = 7 + 2√10
12. क्या 2/3 (राशनल) और √2 (असममित) का योग राशनल होगा?
उत्तर:
नहीं, राशनल + असममित = असममित होता है।
13. (81)^(-1/2) का मान बताइए।
उत्तर:
81 = 9², इसलिए (81)^(-1/2) = 1/9
14. √7 का मान 4 दशमलव स्थान तक लिखिए।
उत्तर:
√7 ≈ 2.6457
15. ऐसी संख्या x बताइए जिससे x² असममित और x⁴ राशनल हो।
उत्तर:
x = √(√2) = 2^{1/4}
x² = √2 (असममित), x⁴ = 2 (राशनल)
16. 0 और 1 के बीच 5 राशनल संख्या बताइए।
उत्तर:
0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9
17. 0.363636… को भिन्न में लिखिए।
उत्तर:
x = 0.363636…
100x = 36.363636…
100x – x = 36
=> 99x = 36
=> x = 36/99 = 4/11
18. (16)^{3/4} का मान बताइए।
उत्तर:
16 = 2^4
(2^4)^{3/4} = 2^3 = 8
19. (3 + √2)(3 − √2) का गुणनफल निकालिए।
उत्तर:
= 9 − 2 = 7
20. बताइए कि π असममित क्यों है।
उत्तर:
π को किसी दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता, इसका दशमलव विस्तार अनंत और गैर आवर्ती है।
21. 0.125 को भिन्न में लिखिए।
उत्तर:
0.125 = 125/1000 = 1/8
22. 64 का षष्ठम मूल (sixth root) निकालिए।
उत्तर:
64 = 2^6
षष्ठम मूल = 2
23. क्या −7 राशनल संख्या है?
उत्तर:
हाँ, −7 = −7/1 (दो पूर्णांकों का अनुपात)
24. (√3 + √2)(√3 − √2) को सरल कीजिए।
उत्तर:
= 3 − 2 = 1
25. √2 असममित क्यों है? प्रमाण दीजिए।
उत्तर:
मान लीजिए √2 = p/q, जहाँ p, q पूर्णांक और पारस्परिक रूप से अभाज्य।
p² = 2q² → p² सम है → p सम है → p = 2k
इसे वापस रखने पर q भी सम हो जाता है, जो विरोधाभास है। अतः √2 असममित है।
26. 1/4 और 1/2 के बीच 4 राशनल संख्या बताइए।
उत्तर:
0.3, 0.35, 0.4, 0.45
27. √50 को सरल रूप में लिखिए।
उत्तर:
√50 = √(25 × 2) = 5√2
28. (2/3)^0 का मान बताइए।
उत्तर:
कोई भी शून्य से भिन्न संख्या की शक्ति 0 = 1
29. 7/11 का दशमलव रूप लिखिए।
उत्तर:
0.636363… (आवर्ती)
30. 0.1̅6 (जहाँ 6 आवर्ती है) को भिन्न में लिखिए।
उत्तर:
x = 0.1666…
10x = 1.666…
9x = 1.5
x = 1.5/9 = 1/6
31. (√3 + 1)^2 को सरल कीजिए।
उत्तर:
3 + 2√3 + 1 = 4 + 2√3
32. −0.333… को भिन्न में लिखिए।
उत्तर:
−1/3
33. 2 और 3 के बीच 5 राशनल संख्या बताइए।
उत्तर:
2.2, 2.4, 2.6, 2.8, 2.9
34. 1.272727… को भिन्न में लिखिए।
उत्तर:
x = 1.272727…
100x = 127.2727…
99x = 126
x = 14/11
35. (16)^{-3/4} को सरल कीजिए।
उत्तर:
16 = 2^4
2^{-3} = 1/8
36. √18 को सरल रूप में लिखिए।
उत्तर:
3√2
37. 125 का घनमूल (cube root) निकालिए।
उत्तर:
5
38. 0.0833… (जहाँ 3 आवर्ती है) को भिन्न में लिखिए।
उत्तर:
x = 0.083333…
1000x = 83.333…
990x = 82.5
x = 11/132
39. (√7 − √5)(√7 + √5) का मान बताइए।
उत्तर:
2
40. 0.101001000100001… असममित क्यों है?
उत्तर:
इसका दशमलव विस्तार न समाप्त होने वाला और न ही आवर्ती है, अतः यह असममित है।
41. 5/6 और 1 के बीच 5 राशनल संख्या बताइए।
उत्तर:
0.85, 0.87, 0.9, 0.95, 0.99
42. (3/4)^2 × (4/3)^2 का मान बताइए।
उत्तर:
1
43. 1/(2 + √3) का हर कीजिए।
उत्तर:
(2 − √3)/1 = 2 − √3
44. क्या 0.123456789101112… राशनल है?
उत्तर:
नहीं, यह असममित संख्या है।
45. (√2)^6 को सरल कीजिए।
उत्तर:
8
46. 0.45̅ (जहाँ 5 आवर्ती है) को भिन्न में लिखिए।
उत्तर:
41/90
47. 1 और 3 के बीच 5 असममित संख्या बताइए।
उत्तर:
√2, √3, √5, √7, √8
48. क्या दो असममित संख्याओं का गुणनफल हमेशा असममित होगा?
उत्तर:
नहीं। उदाहरण: (√2) × (√2) = 2 (राशनल)
49. 1.08̅3 को भिन्न में लिखिए।
उत्तर:
49/45
50. (√5 − √3)^2 को सरल कीजिए।
उत्तर:
8 − 2√15